Une approche standard de modélisation d'épidémie est l'équation de renouvellement. Dans un tel modèle, on considère une population d'individus \(N\) et on note \(i (t)\) le nombre instantané (quotidien) d'individus nouvellement infectés au temps \(t\), tel que le nombre total des personnes infectées est,

où \(t_0\) indique l'instant du début de l'épidémie. Le nombre d'individus non encore infectés (les individus susceptibles) est donc:

Ici, il est supposé que les individus ne peuvent être infectés qu'une seule fois (c'est-à-dire qu'il existe une immunité à long terme, ce qui fait l'objet d'un débat pour le SRAS-CoV-2).

Parmi les individus infectés, un certain nombre est infectieux (c'est-à-dire contagieux aux individus non encore infectés). Le nombre \(I(t)\) d'individus infectieux est donné par:

où \(P (\tau)\) est la probabilité pour un individu infecté d'être infectieux après un certain temps \(\tau\) depuis son infection. Enfin, le nombre d'individus nouvellement infectés par ces individus infectieux est supposé être proportionnel à la fois au nombre d'individus infectieux \(I (t)\) et au nombre d'individus susceptibles \(S (t)\):

où le coefficient de taux d'infection \(\beta (t)\) est lié à l'infectiosité du virus et à l'intensité des interactions sociales entre les individus infectieux et susceptibles. La combinaison de toutes les équations ci-dessus donne une équation fermée sur \(i (t)\) appelée équation de renouvellement:

Ce modèle est bien sûr très simpliste. Les naissances, les décès dus à d'autres causes que le virus, ainsi que les flux entre pays sont négligés. Plus important encore, le modèle suppose une population homogène avec les mêmes interactions sociales partout . Il constitue néanmoins un bon point de départ pour comprendre la dynamique de l'épidémie.

Détermination des nouvelles infections \(i(t)\)

Ce qui est connu dans la pratique, c'est le nombre de cas confirmés chaque jour. Pour relier ces nombres au nombre d'infections \(i(t)\), je fais les hypothèses suivantes:

1. Les cas confirmés ne représentent qu'une fraction \(f_\text{case}\) du nombre de nouvelles infections, car d'une part les ressources de test sont limitées, et d'autre part une grande proportion d'individus infectés sont asymptomatiques (ils ne savent peut-être même pas qu'ils ont été infectés). La fraction devrait donc dépendre en principe du lieu et de la date. Dans ce qui suit, un \(f_\text{case}\) spécifique est considéré pour chaque lieu/pays et il est supposé être constant dans le temps .
2. La confirmation des cas se produit après un certain délai à partir de leur date d'infection, car il faut un certain temps pour que les symptômes de la maladie apparaissent (période d'incubation \(\tau_\text{incubation}\)) et il faut un certain temps supplémentaire \(\tau_\text{confirmation}\) pour qu'un patient présentant des symptômes soit testé puis confirmé positif. La distribution de la période d'incubation est intrinsèque à la maladie et a déjà été estimée (Linton et al., Lauer et al.), avec une période d'incubation moyenne d'environ 5 jours. En revanche, la répartition des délais de confirmation est spécifique à chaque lieu. Dans le cas du Japon, un nombre typique est de 8 jours. En principe, il faut convoluer le nombre de nouvelles infections \(i(t)\) avec ces distributions de retard pour obtenir le nombre de cas confirmés. En pratique, le simple décalage par les retards moyens semble être une bonne approximation.

Il est donc supposé que le nombre quotidien de cas confirmés est donné par: :

où \(\tau_\text{incubation}\) = 5 jours, \(\tau_\text{confirmation}\) = 8 jours et \(f_\text{case}\) est encore inconnu et sera lié au taux de mortalité par infection \(f_\text{death}\) (voir ci-dessous). Étant donné que le nombre quotidien de cas confirmés \(c(t)\) peut présenter de grandes fluctuations hebdomadaires, il est moyenné sur une fenêtre glissante de 7 jours pour obtenir une courbe plus lisse. Ensuite, l'équation \eqref{cases} est inversée pour obtenir le nombre quotidien d'infections\(i (t)\).

Détermination des individus infectieux \(I (t)\)

Pour obtenir le nombre d'individus infectieux à partir de \eqref{infectious}, il faut connaître la probabilité \(P (\tau)\) d'être infectieux après un certain temps \(\tau\) depuis l'infection. La probabilité \(P\) est supposée être proportionnelle à la distribution de temps de série , qui est la distribution \(g(\tau)\) des temps \(\tau\) entre le début de la maladie d'une personne infectée et l'apparition de la maladie de son infecteur,

où le temps \(\tau_\text{infectious}\) est l'intégrale de \(P\) et correspond à la période infectieuse moyenne d'un individu infecté.

La distribution de temps de série du SARS-CoV-2 a été estimée (Nishiura et al.), et en conséquence \(g(t)\) est supposé être donné par la distribution log-normale avec les paramètres \(\mu = 1,386\) jours et \(\sigma = 0,568\) jours .

En revanche, la période infectieuse moyenne \(\tau_\text{infectious}\) est à ma connaissance inconnue. Puisque \(P\) est une probabilité, elle ne peut pas être supérieure à 1, ce qui fixe une limite supérieure de 4,85 jours pour \(\tau_\text{infectious}\). Il est déraisonnable de penser que les individus sont contagieux pendant moins d'un jour, donc dans la suite j'utiliserai 1 jour et 4,85 jours comme valeurs extrêmes pour la période infectieuse moyenne . Notez que dans les analyses suivantes, le choix de \(\tau_\text{infectious}\) affecte le nombre d'individus infectieux, ce qui est important pour la fin de l'épidémie, mais il n'affecte pas l'évolution des autres quantités avant la fin de l'épidémie.

Détermination du nombre de reproduction

Le rapport \(i (t)\) et \(I (t) / \tau_\text{infectious}\) donne le nombre de reproduction effectif

A partir de \eqref{infectious}, on peut voir que \(I (t) / \tau_\text{infectious} = \int_{t_0} ^{t} i (t_1) g (t - t_1) dt_1\) est la moyenne des infections quotidiennes les plus récentes sur la période de temps de série. Le nombre de reproduction effectif \(R_e\) compare ainsi les nouvelles infections quotidiennes à cette moyenne des infections quotidiennes récentes. Si \(R_e > 1\) les infections quotidiennes augmentent et si \(R_e < 1\) les infections quotidiennes diminuent. Le nombre de reproduction effectif donne donc une mesure de la tendance épidémique.

On peut voir dans \eqref{R_e} qu'une diminution du nombre de reproduction effectif peut être due soit à une diminution des interactions sociales (à travers \(\beta (t)\)) soit à une diminution du nombre d'individus sensibles (immunité collective). Pour se faire une idée des variations des interactions sociales, on peut diviser le nombre de reproduction effectif par \(S (t) /N\), ce qui donne le nombre de reproduction de base ,

qui est simplement proportionnel au coefficient de taux d'infection \(\beta (t)\). Notez que les deux nombres de reproduction ainsi construits à partir de \(i (t)\) sont indépendants de la valeur supposée pour \(\tau_\text{infectious}\).

Détermination des cas mortels

Une certaine fraction \(f_\text{case-death}\) des cas confirmés finit par disparaître. Cette fraction est appelée taux de létalité . Pour trouver le nombre de personnes décédées, il faut multiplier le nombre de cas \(c(t)\) par cette fraction \(f_\text{case-death}\) et le convoluer avec la fonction de répartition des délais entre confirmation et décès. Ce qui est connu des hôpitaux, c'est la distribution \(P_D\) de délais entre l'admission et le décès. En supposant que l'admission à l'hôpital a lieu après un certain temps \(\tau_\text{admission}\) à partir de la confirmation , on obtient le nombre de personnes décédées:

Pour le Japon, on suppose que la distribution \(P_D\) est donnée par une distribution de Weibull avec les paramètres \(\alpha = 1.361 \) et \(\beta = 12.96 \), obtenue en faisant un ajustement sur les données des hôpitaux de Saitama. Lorsque le nombre cumulé de décès a atteint un plateau après une croissance exponentielle initiale, il est facile d'ajuster \(f_\text{case-death}\) pour correspondre à la hauteur du plateau. Le délai d'admission peut ensuite être ajusté pour faire correspondre la courbe \(D(t)\) avec les données observées, et est typiquement de 3 jours.

Le nombre de cas confirmés étant lui-même une fraction \(f_\text{case}\) de toutes les infections (Eq. \eqref{cases}), on obtient la fraction \(f_\text{death} = f_\text{case} f_\text{case-death}\) d'individus décédés parmi les individus infectés. Cette fraction est le taux de mortalité par infection (IFR). Contrairement à \(f_\text{case}\), qui dépend de la capacité de test et de la politique de chaque pays, le taux de mortalité par infection \(f_\text{death}\) devrait avoir des valeurs similaires dans différents pays (bien qu'il puisse dépendre des conditions et capacités hospitalières, ainsi que des conditions sanitaires et génétiques des populations). Pour cette raison, une fois \(f_\text{case-death}\) déterminé, il est préférable d'exprimer\(f_\text{case}\) en termes de \(f_\text{death}\). Comme indiqué ci-dessous, le taux de mortalité par infection est estimé entre 0,02% et 4%, probablement proche de 1%. Plusieurs études ont fait des estimations de ce taux : 0.64% (0.50-0.78%) [Meyerowitz-Katz et al], 1.04% (0.77%,1.38%) [Grewelle et al], and 0.26% (0.02%-0.86%) [Ioannidis].

Projections

Une fois les paramètres ci-dessus fixés, il est possible de propager dans le temps l'équation de renouvellement \eqref{renewalEq}. À cette fin, il faut spécifier la dépendance temporelle du coefficient de taux d'infection \(\beta(t)\), ou de manière équivalente du nombre de reproduction de base \(R_0 (t)\) défini dans \eqref{R_0}. Ceci est bien sûr impossible, car on ne peut pas prédire l'évolution des interactions sociales. On peut donc plutôt envisager différents scénarios plausibles.

1. Le scénario le plus simple (scénario A) suppose que le nombre de reproduction de base reste le même qu'au cours des derniers jours (c'est-à-dire en conservant les restrictions sociales actuelles) et, à partir d'une certaine date, passe à une valeur finale (retour à la vie normale) sur une certaine période de transition. Cette valeur finale est fixée à la valeur la plus élevée (généralement autour de 2) observée juste avant d'être diminuée par la distanciation sociale.
2. Dans un deuxième scénario (scénario B), le retour à la vie normale crée une deuxième vague d'infections. Cette nouvelle vague d'infections est finalement détectée, et de nouvelles restrictions sociales sont mises en place à partir d'une certaine date et ce progressivement sur une période de transition.

Dans ce qui suit, les périodes de transition sont considérées comme étant d'un mois, ce qui semble être le temps de transition typique pour les variations passées de \(R_0(t)\).

Pour décrire de manière plus réaliste la fin de l'épidémie, le nombre d'individus infectieux obtenu à partir de \eqref{infectious} et le nombre d'individus nouvellement infectés obtenu à partir de \eqref{renewalEq0} sont arrondis aux entiers les plus proches. Enfin, lorsque le nombre d'individus infectieux atteint zéro, l'épidémie est considérée comme terminée.

Le modèle SEIR est un modèle compartimental très couramment utilisé pour décrire les épidémies. Il divise la population en quatre catégories: sensibles (S), exposées (E), infectieuses (I) et retirées (R), et le nombre d'individus dans ces quatre catégories est supposé suivre un ensemble d'équations différentielles.

On peut montrer [Inaba 2018][Champredon et al. 2018] que le modèle SEIR est un cas particulier du modèle d'équation de renouvellement \eqref{renewalEq} correspondant à une probabilité infectieuse \(P\) résultant de la convolution de distributions exponentielles (ou plus généralement de distributions d'Erlang dans les extensions de SEIR).

L'équipe d'Hiroshi Nishiura de l'Université d'Hokkaido a utilisé une méthode pour calculer le nombre de reproduction effectif à partir des données au Japon. Cette méthode est également basée sur une équation de renouvellement,

qui est un peu plus sophistiquée que \eqref{renewalEq}, car il y est fait une distinction entre les cas domestiques (qui ont contracté le virus au Japon) et le nombre total de cas (qui peuvent avoir contracté le virus à l'étranger), et de plus, la fonction de répartition \(F\) du délai entre l'infection et la confirmation est utilisée pour tenir compte des cas qui n'ont pas encore été signalés mais qui sont déjà infectés. Dans la méthode présentée ici, je considère le nombre total de cas comme des cas domestiques, et je calcule le nombre de reproduction uniquement à partir des cas signalés, ce qui limite le calcul à 13 jours auparavant. De plus, l'équipe de Nishiura utilise des techniques plus avancées pour obtenir le nombre d'individus nouvellement infectés à partir des cas confirmés, en utilisant les dates d'apparition des symptômes connues pour certains cas. Dans mon cas, je multiplie et décale simplement dans le temps les cas confirmés pour obtenir une estimation des individus nouvellement infectés.

La méthode présentée ici est donc une version simplifiée de la méthode utilisée par l'équipe de Nishiura. Le site de Toyo Keizai fournit également un calcul simplifié du nombre de reproduction effectif, basé sur une formule simple: (Nouveaux cas dans les 7 derniers jours / Nouveaux dans les 7 jours encore avant) ^ (temps de génération moyen / délai de rapport), où le temps de génération moyen est fixé à 5 jours, et le délai de rapport est fixé à 7 jours. Lorsqu'elle est décalée dans le temps de 13 jours, cette formule est en bon accord avec mon propre calcul, comme le montre la figure ci-dessous pour le nombre de reproduction au Japon.

Dans le cas de la France, un grand groupe de personnes a été infecté lors d'un rassemblement religieux impliquant 2500 personnes entre le 17 et le 24 février, 2020 . On pense qu'au moins 1000 personnes ont été infectées [ Réf ], propageant ensuite le virus dans différentes parties du pays alors qu'elles rentraient chez elles. La prise en compte de ce nombre minimal d'infections à la dernière date du rassemblement (24 février) définit une valeur maximale pour le taux de mortalité par infection (IFR) d'environ 4% (voir la figure 1). Il pourrait être beaucoup plus petit car il pourrait y avoir beaucoup plus de personnes infectées. Cependant, l'IFR ne peut pas être inférieur à 0,045%, sinon le nombre prédit d'individus infectés dépasserait la population totale. Même avec un IFR de 0,2%, le nombre d'infections est tel qu'une fraction importante (plus de 20%) de la population finirait par être infectée (voir figure 3), et la diminution des cas observés après la début du confinement serait due en grande partie partie à l'immunité collective, plutôt qu'à la restriction des interactions sociales (le nombre de reproduction de base resterait proche de 1). Ce scénario ne semble pas très probable, et on peut prendre 0,2% comme limite inférieure raisonnable pour l'IFR.

On peut donc conclure que le taux de mortalité par infection pour la France se situe entre 4% et 0,2% . La figure 2 montre les résultats pour une valeur intermédiaire de 1%. Dans ce cas, 4% de la population française aurait été infectée.

Fin de l'épidémie

Les figures 1, 2, 3 montrent les projections (courbes en tiretés) pour un nombre de reproduction de base constant (scénario A) jusqu'à la fin de l'épidémie. La fin la plus précoce (15 août 2020) est obtenue avec les paramètres les plus favorables (\(f_\text {death} \) = 4%, \(\tau_\text {infectious} \) = 1 jour) (Fig 1) , tandis que la dernière fin (1er octobre 2020) est obtenue avec les paramètres les moins favorables (\(f_\text {death} \) = 0,15%, \(\tau_\text {infectious} \) = 4,85 jours) (Fig 3). Une date plus probable est le 6 septembre 2020 (figure 2).

Si les restrictions sociales (distanciation sociale, tests actifs, suivi et isolement) prennent fin avant ou même au moment où les derniers cas sont observés, il existe une possibilité de deuxième vague. Il faudrait un ou deux mois pour constater de nouveaux cas liés à cette deuxième vague, et de nouvelles restrictions sociales seraient nécessaires d'ici fin 2020. Dans les scénarios des figures 4 et 5, environ 2000 décès supplémentaires pourraient résulter de la deuxième vague.

Il est difficile d'imaginer que le taux de mortalité par infection (IFR) à Tokyo puisse être supérieur à la valeur la plus élevée pour la France (4%). En prenant cette valeur, on obtient (voir figure 7) que presque tous les cas réels sont confirmés, ce qui est peu probable. Le 23 avril 2020, il a été rapporté que 4 des 67 patients admis à l'hôpital universitaire de Keio pour des conditions sans rapport avec le coronavirus ont été testés positifs au coronavirus. Cela indiquerait qu'entre 3% et 9% de la population de Tokyo a été infectée. Pour correspondre à cette plage, l'IFR doit être aussi petit que 0,02% (voir figure 9), ce qui signifie que seulement 0,4% des personnes infectées sont détectées. Cette situation semble également peu probable.

Il existe donc une grande incertitude sur le taux de mortalité par infection à Tokyo (de 4% à 0,02%). La figure 8 montre les résultats pour une valeur intermédiaire de 1%. Dans ce cas, environ 0,2% de la population tokyoïte aurait été infectée à ce jour.

Fin de l'épidémie

La situation à Tokyo est devenue problématique ces derniers jours. Bien qu'il semble que le nombre quotidien de cas confirmés devait atteindre zéro au début de juin, les chiffres récents semblent indiquer un retour des infections (qui se serait donc passé il y a deux semaines, compte-tenu des délais) et un nombre de reproduction de base revenant à des valeurs supérieures à 1. Dans cette situation, il est extrêmement difficile de faire une projection.

Cette situation pourrait être due à un foyer d'infection localisé qui serait rapidement détecté et maîtrisé, auquel cas le nombre quotidien de cas confirmés pourrait rapidement disparaître en juin 2020, comme l'illustrent les figures 7, 8, 9.

Cela pourrait également être le début d'une deuxième vague . Ceci est illustré sur les figures 10, 11, 12. Étant donné que l'état d'urgence a été levé le 25 mai et qu'il existe une tendance actuelle à revenir à la vie normale, on peut faire l'hypothèse que le nombre de reproduction de base va revenir durablement à une valeur de 1,3, comparable à sa valeur avant l'état d'urgence. Le nombre quotidien de cas confirmés continuerait alors d'augmenter. En conséquence, il est supposé que l'état d'urgence serait rétabli vers le 10 juin, réduisant progressivement le nombre de reproduction de base à 0,5 sur un mois. Dans ce scénario, environ 100 décès supplémentaires pourraient résulter de la deuxième vague, et l'épidémie serait prolongée jusqu'en août 2020.

En appliquant la même analyse à la préfecture de Saitama, j'obtiens les résultats suivants.

Fin de l'épidémie

La situation dans la préfecture de Saitama semble bien maîtrisée avec une fin imminente de l'épidémie, comme le montrent les figures 13-16. Néanmoins, en raison du délai de deux semaines entre les cas confirmés et les infections réelles, il est trop tôt pour exclure la possibilité d'une deuxième vague. Dans les figures 13-16, on a fait l'hypothèse que le retour à la vie normale a commencé progressivement le 17 mai de sorte que le nombre de reproduction de base atteint deux mois plus tard la valeur de 1.8. Comme on peut le voir, une deuxième vague est relativement peu probable à moins que le taux de mortalité par infection ne soit inférieur à 0,5%. Cependant, un retour plus rapide à la vie normale (en 40 jours) augmente les chances de deuxième vague, comme le montrent les figures 17-19. De plus, l'afflux possible d'infecteurs provenant d'autres régions (telles que Tokyo) n'a pas été pris en compte et peut augmenter la probabilité d'une deuxième vague.

Bien que ces calculs simples ne puissent pas être considérés comme des projections réalistes de l'épidémie, ils nous donnent une idée des résultats possibles dans les mois ou l'année à venir. Une source importante d'incertitude est le taux de mortalité par infection, ainsi que l'impossibilité de prédire le nombre de reproduction de base, qui reflète les réactions gouvernementales et sociales.